Cosmologia quantistica

Cosmologia quantistica

17-5-2005

Le leggi fisiche che governano l’universo stabiliscono come si evolve uno stato iniziale col tempo.
Nella fisica classica, se lo stato iniziale di un sistema è specificato in modo esatto allora il
movimento seguente sarà completamente prevedibile. Nella fisica quantistica, specificare lo stato
iniziale di un sistema permette di calcolare la probabilità che sarà trovato in un qualsiasi altro
stato più tardi.

La cosmologia tenta di descrivere il comportamento dell’intero universo usando queste leggi fisiche.
Nell’applicare queste leggi all’universo si incontra immediatamente un problema. Che cos’è lo stato
iniziale al quale le leggi dovrebbero essere applicate? In pratica i cosmologi tendono a lavorare a
ritroso usando le proprietà osservate dell’universo di adesso per capire cosa fosse in tempi più
remoti. Questo approccio si è dimostrato molto riuscito. Però ha portato i cosmologi indietro alla
domanda delle condizioni iniziali. L’inflazione (un periodo di espansione accelerata nell’universo
primordiale) è ora accettata come la spiegazione standard di parecchi problemi cosmologici. Perché
l’inflazione sia accaduta, l’universo deve essere stato formato contenente della materia in uno
stato altamente eccitato. La teoria inflazionistica non si pone la domanda del perché questa materia
fosse in un tale stato eccitato. Rispondere a questo richiede una teoria di condizioni iniziali
pre-inflazionarie.

Ci sono due validi candidati per una tale teoria. Il primo, proposto da Andrei Linde
dell’Università di Stanford, si chiama inflazione caotica. Secondo l’inflazione caotica, l’universo
inizia in uno stato completamente casuale. In alcune regioni la materia sarebbe più energetica che
in altre e l’inflazione potrebbe manifestarsi, producendo l’universo osservabile. Il secondo
contendente per una teoria di condizioni iniziali è la cosmologia quantistica, l’applicazione della
teoria quantistica all’intero universo. All’inizio questo sembra assurdo perché tipicamente grossi
sistemi (come l’universo) ubbidiscono alle leggi classiche, non a quelle quantistiche. La teoria di
Einstein della relatività generale è una teoria classica che descrive accuratamente l’evoluzione
dell’universo dalla prima frazione di secondo della sua esistenza ad oggi. Però, si sa che la
relatività generale è in contrasto con i princìpi della teoria quantistica e perciò non è una
descrizione appropriata di processi fisici che succedono in scale molto ridotte o in tempi molto
brevi. Per descrivere tali processi è richiesta una teoria di gravità quantistica. Nella fisica
non-gravitazionale l’approccio alla teoria quantistica che si è rivelato più di successo riguarda
oggetti matematici conosciuti come integrali di percorso. Gli integrali di percorso furono
introdotti dal premio Nobel Richard Feynman, del CalTech.

Nell’approccio degli integrali di percorso, la probabilità che un sistema in uno stato iniziale A si
evolva ad uno stato finale B è dato sommando un contributo da qualsiasi storia possibile del sistema
che inizia in A e finisce in B. Per questo motivo un integrale di percorso è spesso definito una
‘somma sulle storie’. Per grandi sistemi, contributi da storie simili si cancellano a vicenda nella
somma e solo una storia è importante. Questa storia è la storia che la fisica classica predirrebbe.
Per motivi matematici, gli integrali di percorso sono formulati in uno sfondo con quattro dimensioni
spaziali piuttosto che tre dimensioni spaziali ed una dimensione di tempo. C’è una procedura
definita ‘continuazione analitica’ che può essere usata per convertire i risultati espressi in
termini di quattro dimensioni spaziali in risultati espressi in termini di tre dimensioni spaziali
ed una dimensione di tempo. Questo converte efficacemente una delle dimensioni spaziali nella
dimensione temporale. Questa dimensione spaziale è talvolta definita tempo ‘immaginario’ perché
comporta l’uso dei cosiddetti numeri immaginari, che sono oggetti matematici ben definiti usati
quotidianamente dagli ingegneri elettrici.

Il successo degli integrali di percorso nel descrivere la fisica non-gravitazionale ha naturalmente
portato a tentativi per descrivere la gravità usando gli integrali di percorso. La gravità è
alquanto diversa dalle altre forze fisiche, la cui descrizione classica comprende campi (ad es.
campi elettrici o magnetici) che si propagano nello spaziotempo. La descrizione classica della
gravità è data dalla relatività generale, che afferma che la forza gravitazionale è in relazione
alla curvatura dello spaziotempo stesso cioè alla sua geometria. A differenza della fisica
non-gravitazionale, lo spaziotempo non è solo l’arena in cui accadono i processi fisici ma è un
campo dinamico. Perciò una somma sulle storie del campo gravitazionale nella gravità quantistica è
invero una somma su possibili geometrie per lo spaziotempo. Il campo gravitazionale in un dato
momento può essere descritto dalla geometria delle tre dimensioni spaziali a quel tempo. La storia
del campo gravitazionale è descritta dallo spaziotempo quadridimensionale che queste tre dimensioni
spaziali spazzano via nel tempo. Perciò l’integrale di percorso è una somma su tutte e quattro le
geometrie dimensionali dello spaziotempo che si inseriscono tra la geometria iniziale e le tre
finali. In altre parole è una somma su tutte e quattro le dimensioni di spaziotempo con due o tre
limiti dimensionali che corrispondono alle condizioni iniziali e finali.

Ancora una volta, le sottigliezze matematiche richiedono che gli integrali di percorso siano
formulati in quattro dimensioni spaziali piuttosto che in tre dimensioni spaziali ed una dimensione
temporale. La formula di integrali di percorso della gravità quantistica ha molti problemi
matematici. Non è neanche chiaro come sia in relazione con tentativi più moderni di costruire una
teoria di gravità quantistica quale la teoria-M/delle stringhe. Però può essere usata per calcolare
esattamente quantità che possono essere calcolate indipendentemente in altri modi ad es. le
temperature dei buchi neri e le entropie. Possiamo ora ritornare alla cosmologia. In un qualsiasi
momento, l’universo è descritto dalla geometria delle tre dimensioni spaziali come pure da un
qualsiasi campo di materia che possa essere presente. Dati questi dati si può, in principio, usare
gli integrali di percorso per calcolare la probabilità di evolversi successivamente in un qualsiasi
altro stato prescritto. Però questo richiede ancora una conoscenza dello stato iniziale, non lo
spiega. La cosmologia quantistica è una possibile soluzione a questo problema. Nel 1983, Stephen
Hawking e James Hartle svilupparono una teoria di cosmologia quantistica che è conosciuta come la
‘Proposta Senza Confini’. Ricorda che l’integrale di percorso comprende una somma di quattro
dimensioni geometriche che hanno confini che corrispondono alla geometria iniziale ed alle tre
finali.

La proposta di Hartle-Hawking è semplicemente di sbarazzarsi delle tre geometrie iniziali cioè di
includere solo geometrie quadridimensionali che corrispondono alla geometria delle tre finali.
L’integrale di percorso è interpretato come quello che dà la probabilità di un universo con certe
proprietà (cioè quelle della geometria dei tre confini) che è creato dal nulla. In pratica,
calcolare le probabilità nella cosmologia quantistica usando l’intero integrale di percorso è
terribilmente difficile e bisogna usare un’approssimazione. Questa è conosciuta come
l’approssimazione semiclassica perché la sua validità sta da qualche parte tra quella della fisica
classica e quella della fisica quantistica. Nell’approssimazione semiclassica si può affermare che
la maggior parte delle quattro geometrie dimensionali che avvengono nell’integrale di percorso
daranno piccolissimi contributi all’integrale di percorso e perciò questi possono essere trascurati.
L’integrale di percorso può essere calcolato considerando solo alcune geometrie che danno un
contributo particolarmente consistente. Questi si chiamano istantoni. Gli istantoni non esistono per
tutte le scelte della geometria a tre di confine; però quelle tre geometrie che ammettono
l’esistenza degli istantoni sono più probabili di quelle che non lo fanno. Perciò l’attenzione di
solito è ristretta a tre geometrie vicine a queste. Ricordate che l’integrale di percorso è una
somma sulle geometrie con quattro dimensioni spaziali.

Perciò un istantone ha quattro dimensioni spaziali ed un confine che combacia con la geometria
tridimensionale di cui vogliamo calcolarne le probabilità. I tipici istantoni assomigliano a
superfici di sfere (a quattro dimensioni) con la geometria tridimensionale che taglia la sfera a
metà. Si possono usare per calcolare il processo quantico di creazione dell’universo, che non può
essere descritto usando la relatività generale classica. Di solito esistono solo per piccole
geometrie tridimensionali, corrispondenti alla creazione di un piccolo universo. Notate che il
concetto di tempo non si presenta in questo processo. La creazione dell’universo non è qualcosa che
accade dentro ad un’arena più grande di spaziotempo – l’istantone descrive l’apparizione spontanea
di un universo letteralmente dal nulla. Una volta che l’universo esiste, la cosmologia quantica può
essere approssimata dalla relatività generale e così compare il tempo. Si sono trovati vari tipi di
istantoni che possono fornire le condizioni iniziali per universi realistici. Il primo tentativo di
trovare un istantone che descriva la creazione di un universo nel contesto della proposta ‘senza
confini’ fu fatto da Stephen Hawking ed Ian Moss.

L’istantone di Hawking-Moss descrive la creazione di un universo che si espande perpetuamente con
geometrie spaziali tridimensionali ‘chiuse’. Al momento è una questione irrisolta se il nostro
universo contenga tre geometrie chiuse, piane o aperte. In un universo piatto, la geometria spaziale
su larga scala assomiglia al normale spazio tridimensionale che sperimentiamo attorno a noi.
All’opposto di questo, le sezioni spaziali di un realistico universo chiuso assomiglierebbero a
(superfici di) sfere tridimensionali con un raggio grandissimo ma limitato. Una geometria aperta
assomiglierebbe ad un iperboloide infinito. Perciò solo un universo chiuso sarebbe limitato. Ci
sono, però, ora, prove valide da osservazioni cosmologiche a favore di un universo aperto infinito.
Perciò è una domanda importante se esistano istantoni che descrivono la creazione di universi
aperti. L’idea dietro l’istantone di Coleman-De Luccia, scoperto nel 1987, è che la materia
nell’universo primordiale sia inizialmente in uno stato conosciuto come falso vuoto. Un falso vuoto
è uno stato classicamente stabilmente eccitato che è quanto-meccanicamente instabile.

Nella teoria quantistica, la materia che è in un falso vuoto può ‘scavarsi’ per diventare il suo
vero stato di vuoto. Lo scavare quantistico della materia nell’universo primordiale è stato
descritto da Coleman e De Luccia. Essi dimostrarono che il decadimento del falso vuoto avviene per
mezzo della nucleazione di bolle nel falso vuoto. Dentro ciascuna bolla la materia ha scavato un
tunnel. Sorprendentemente, l’interno di una tale bolla è un infinito universo aperto in cui può
avvenire l’inflazione. L’istantone cosmologico che descrive la creazione di un universo aperto per
mezzo della nucleazione di questa bolla si chiama l’istantone di Coleman-De Luccia. Ricordatevi che
questo scenario richiede l’esistenza di un falso vuoto per la materia nell’universo primordiale.
Inoltre, la condizione perché avvenga l’inflazione una volta che l’universo è stato creato limita
fortemente il modo in cui la materia decade nel suo vero vuoto. Perciò la creazione di universi
aperti in inflazione sembra essere piuttosto costruita in assenza in una qualche spiegazione di
queste condizioni iniziali pre-inflazionarie.

Recentemente, Stephen Hawking e Neil Turok hanno proposto una soluzione ardita per questo problema.
Hanno costruito una classe di istantoni che danno luogo a universi aperti in modo simile agli
istantoni di Coleman e De Luccia. Però, essi non richiedevano l’esistenza di un falso vuoto o altre
proprietà molto specifiche dello stato di materia eccitato. Il prezzo che pagano per questo è che i
loro istantoni hanno singolarità: luoghi dove la curvature diventa infinita. Poiché le singolarità
sono solitamente considerate come luoghi dove la teoria si spacca e deve essere sostituita da una
teoria più fondamentale, questa è una caratteristica alquanto controversa del loro lavoro.

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