IL TEOREMA DI GÖDEL
Come ogni branca della scienza, così anche la matematica ha avuto nella sua storia dei momenti
‘forti’ per la creazione di nuove teorie o per la formulazione di nuovi teoremi destinati a
illuminare, se non a sconvolgere i risultati raggiunti fino a quel punto da questa scienza.
Nel secolo attuale la scoperta più importante è certamente da attribuire a Kurt Gödel (1906-1978),
un matematico austriaco emigrato negli Stati Uniti e membro dell’Institute for Advanced Studies di
Princeton, dove gli fu assegnato il Premio Einstein nel 1951. Gödel è poco conosciuto: il suo
carattere modesto e l’altissimo grado di astrattezza delle sue ricerche non l’hanno certo portato
alla ribalta della popolarità; tuttavia qualcuno non esita a definirlo l’Einstein della matematica.
Il campo della matematica in cui Gödel svolse la sua ricerca era quello logico-formale; nel 1931,
all’età di 25 anni, pubblicò su un periodico scientifico tedesco un lavoro relativamente breve dal
titolo poco rassicurante: “Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei PRINCIPIA MATHEMATICA e
di sistemi affini” (i PRINCIPIA MATHEMATICA sono il monumentale trattato di A.N. Whitehead e
Bertrand Russell sulla logica della matematica) in cui egli sorprendentemente affermava con una
geniale dimostrazione l’indimostrabilità della coerenza di un qualunque sistema matematico, ovvero
l’impossibilità di costruire all’interno della matematica sistemi i cui principi, o assiomi, siano
non-contraddittori fra loro.
Questo teorema sembra risolvere negativamente il secondo dei problemi proposti da Hilbert, un altro
grande matematico dell’inizio del secolo, in cui egli si chiedeva se fosse possibile dimostrare che
gli assiomi dell’aritmetica sono compatibili, ossia che partendo da essi e procedendo attraverso un
numero finito di passaggi logici non si può mai giungere a risultati contraddittori (proprio nel
tentativo di inquadrare definitivamente il problema erano venuti alla luce i PRINCIPIA, il più
elaborato tentativo mai fatto prima di allora di sviluppare le nozioni fondamentali dell’aritmetica
a partire da un insieme ben definito di assiomi).
In sostanza, cosa afferma il teorema di Gödel? Due cose molto importanti: in primo luogo, come già
detto, l’indimostrabilità della coerenza di un sistema matematico basato su ‘regole’ logiche; in
secondo luogo l’incompletezza dei PRINCIPIA o di qualsiasi sistema nel cui ambito possa venir
sviluppata l’aritmetica; in altre parole, l’esistenza di proposizioni aritmetiche logicamente vere
le quali non possono essere dedotte dall’insieme.
Questo punto merita un’illustrazione.
La matematica abbonda di proposizioni generali, alle quali non si è mai trovata un’eccezione, che
hanno resistito a tutti i tentativi di dimostrazione. Un esempio classico è noto come teorema di
Goldbach, e afferma che ogni numero pari è somma di due numeri primi.
Non si è mai trovato un numero pari che non fosse la somma di due numeri primi, ma nessuno è
riuscito a dimostrare questa congettura. Ciò detto, supponiamo che modificando gli assiomi
dell’aritmetica o aggiungendone altri il teorema di Goldbach giunga ad essere dimostrato; i
risultati di Gödel provano che questo non porterebbe alcun rimedio sostanziale, perché vi sarebbero
sempre altre verità aritmetiche non deducibili dagli assiomi di partenza.
Vediamo ora di soffermarci brevemente su come Gödel è riuscito a raggiungere le sue conclusioni.
Egli ha innazitutto descritto un calcolo formalizzato nel quale tutte le ordinarie notazioni
aritmetiche possono essere espresse, insieme con le relazioni fondamentali. Per fare ciò ha
costruito una classe di simboli che costituiscono il “vocabolario fondamentale”. Assegnato un numero
diverso ad ogni simbolo, è possibile in conseguenza assegnarne uno anche a tutte le formule e
dimostrazioni. E così si realizza la cosiddetta “numerazione di Gödel”.
Mediante un procedimento di diagonalizzazione (simile a quello che era stato in precedenza usato da
Cantor per la mirabile dimostrazione che portò a diversificare il concetto di infinito) che sfrutta
tale numerazione, egli arriva a dimostrare che una ben precisa proposizione G, pur essendo vera, è
dimostrabile solo se lo è anche la sua negazione, e in conclusione non è dimostrabile all’interno
del sistema formale usato.
È interessante a questo punto tentare di analizzare le conseguenze del suo teorema.
In campo logico-matematico lo si potrebbe interpretare come un invito a disperare; ma i progressi
ottenuti negli ultimi decenni hanno mostrato che esso ha finito con lo stimolare, più che attenuare,
la creatività matematica.
Ma il teorema di Gödel ha implicazioni più ampie: nel campo della cibernetica, ad esempio. Le sue
conclusioni fanno sorgere la questione se sia possibile costruire una macchina calcolatrice che
faccia concorrenza alla mente umana.
Le macchine calcolatrici odierne posseggono un insieme fissato di direttive di tipo
assiomatico-formale e forniscono risposte operando in maniera discontinua, ogni passaggio essendo
controllato dalle direttive immagazzinate. Ma come Gödel dimostrò, vi sono innumerevoli problemi che
esulano dalle possibilità di un metodo assiomatico fissato; la stessa prova di Gödel sarebbe
impossibile senza uscire dal piano matematico per affrontare il problema da un punto di vista
cosiddetto ‘metamatematico’; e allora?
È indubbio che non vi è alcuna prospettiva immediata di rimpiazzare la mente umana con un robot.
Ma forse, sembra dirci Gödel, tale evento è destinato a non verificarsi mai…
La mente umana riesce in ciò che ad un calcolatore sembrerebbe assurdo, ad esempio a dimostrare
l’indimostrabilità: non verrebbe allora da credere che nella mente umana debba esistere qualcosa che
fornisce criteri assoluti di conoscibilità, ‘incarnati’ nei circuiti logici del cervello?
Qualcosa che fa riferimento direttamente all’ infinito… sono solo ipotesi, è ovvio; ma è
interessante, e profondamente nuovo, che questi spunti vengano da parte di una branca della scienza
come la matematica; e ciò, se non altro, dimostra che anche essa può a suo modo aprirsi sulla
ricerca del ‘senso’ della realtà umana.
Bibliografia
E. Nagel & J.R. Newman, La prova di Gödel (New York, 1958) – ISBN 88-339-0309-5
C.B. Boyer, Storia della matematica (New York, 1968) – ISBN 88-04-33431-2
P. Pasolini, Il teorema di Gödel di fronte alla logica, alla cibernetica e all’assoluto (Roma, 1978)
– Rivista “Nuova Umanità” n. 1, Ed. Città Nuova, Roma
Douglas Hofstadter – Gödel, Escher, Bach: un’Eterna Ghirlanda Brillante – ISBN 88-459-0755-4
Italo Aimonetto – Il teorema di Gödel e le antinomie negative – Rivista “Filosofia” – Torino
Italo Aimonetto – Il fondamento del teorema di Gödel: da Peano a Frege e Russell – Rivista
“Filosofia” – Torino
Italo Aimonetto – Il teorema di Gödel e le formule aperte – Rivista “Filosofia” – Torino
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