La Musica come Scienza

La Musica come Scienza

Che rapporti intervengono tra la Musica e le scienze quali la Matematica e la Fisica?
Come si possono avvicinare tali discipline che nel giudizio comune sono riconosciute molto
differenti?

di Ivan Genesio

– La Musica di Pitagora alla Base della Scienza Moderna –

Tutto ebbe inizio il giorno in cui Pitagora passò di fronte all’officina di un fabbro, e si accorse
che il suono dei martelli sulle incudini era a volte consonante, e a volte dissonante. Incuriosito,
entrò nell’officina, si fece mostrare i martelli, e scoprì che quelli che risuonavano in consonanza
avevano un preciso rapporto di peso. Ad esempio, se uno dei martelli pesava il doppio dell’altro,
essi producevano suoni distanti un’ottava. Se invece uno dei martelli pesava una volta e mezzo
l’altro, essi producevano suoni distanti una quinta (l’intervallo fra il do e il sol). Tornato a
casa, Pitagora fece alcuni esperimenti con nervi di bue in tensione, per vedere se qualche regola
analoga valesse per i suoni generati da strumenti a corda, quali la lira. Sorprendentemente, la
regola era addirittura la stessa! Ad esempio, se una delle corde aveva lunghezza doppia dell’altra,
esse producevano suoni distanti un’ottava. Se invece una delle corde era lunga una volta e mezzo
l’altra, esse producevano suoni distanti una quinta.

Tutta la teoria degli intervalli e’ nata proprio dalle osservazioni pitagoriche! Ricapitolando, se
la corda di lunghezza x emette un do, la stessa corda di lunghezza x/2 suona a frequenza doppia, ed
emette un do all’ottava superiore. La lunghezza x/3 dà un sol; x/4 ancora un do, questa volta due
ottave sopra, x/5 infine un mi (si e’ composto un accordo di do maggiore! Non è un caso,
naturalmente: l’accordo “suona bene” proprio perché la fisica ci insegna che quando si fa vibrare
una corda, si ascolta in realtà anche tutta una serie di armonici: se poi si suona un accordo
maggiore, i vari armonici entrano in risonanza, rinforzandosi tra loro). Facendo un po’ di conti, e
riportando tutte le note nella stessa ottava per comodità di lettura, ecco le frequenze relative per
tutte le note dal do al do all’ottava superiore, eccetto il fa# (non per niente forma con il do il
diabolico tritono!).

do 1
reb 16/15
re 9/8
mib 6/5
mi 5/4
fa 4/3
sol 3/2
lab 8/5
la 5/3
sib 9/5
si 15/8
do 2

Frequenze relative degli intervalli
a partire dal do (“b” sta per bemolle)

Come si puo’ notare, si hanno numeri piccoli tranne che per gli intervalli di seconda minore e
settima maggiore (rispettivamente intervallo do-sib e do-si) che del resto sono abbastanza
dissonanti (provare per credere). Un po’ di matematica, per verificare che i conti tornino: per
arrivare dal fa al do (un intervallo di quinta) occorre proprio moltiplicare per 3/2, e se si
ricalcola la quinta di un sol, si arriva ad un re all’ottava sopra di frequenza in rapporto 9/4.
Scendendo di un ottava (dividendo per due) si ottiene proprio 9/8 (intervallo di seconda maggiore
do-re). Sarebbe possibile dilungarsi ancora sulla discussione intervalli – frequenze relative, ma
visto che l’ambizione di questo elaborato e’ individuare e discutere in breve tutte le eventuali
relazioni e gli svariati accostamenti tra musica e scienze matematiche e fisiche, si consiglia al
lettore interessato la lettura delle pagine web [1] e [2] .

In perfetto stile scientifico, dall’osservazione e dall’esperimento Pitagora dedusse quindi una
teoria; la coincidenza di musica, matematica e natura. Poiché nelle leggi dell’armonia scoperte da
Pitagora intervenivamo soltanto numeri frazionari, detti anche numeri razionali, ed i rapporti
armonici corrispondevano perfettamente a rapporti numerici, Pitagora enunciò la sua scoperta nella
famosa massima: tutto è (numero) razionale. Essa codifica la fede nella intelligibilità matematica
della natura, ed è il presupposto metafisico dell’intera impresa scientifica, di cui Pitagora è
stato appunto il padre fondatore. D’ altrocanto la comprensione della natura attraverso le scienze
matematiche rimane un obiettivo primario per la scienza oggi.

La storia della musica, come quella della fisica, ha recepito ed elaborato in maniera profonda il
credo pitagorico. Già Pitagora stesso aveva scoperto che la sua teoria musicale aveva qualche
difetto: infatti i rapporti numerici corrispondenti, rispettivamente, a un tono e due semitoni non
coincidevano, e differivano di una quantità piccola ma percettibile all’orecchio, che fu chiamata
comma pitagorico. La soluzione matematica del temperamento, che consiste nel dividere l’ottava in
due semitoni uguali, fu trovata soltanto nel secolo XVIII e richiese l’assegnazione di un valore
irrazionale al semitono. Infatti secondo la teoria ondulatoria applicata alla musica, se si
raddoppia la frequenza, si ottiene la stessa nota (Pitagora avrebbe usato una corda lunga la meta’
di quella originale), ma più alta di un’ottava. Ad esempio, il tradizionale “la” che emette un
diapason ha frequenza 440 Hz, quello un’ottava sopra avrà frequenza 880, ecc… Ora, dato che le
note fra un’ottava e l’altra (comprese le varie alterazioni date da diesis e bemolle) sono 12, e le
loro frequenze sono in progressione geometrica (cioe’ si possono ricavare tutte le note attraverso
una produttoria), allora si può calcolare il valore per cui bisogna moltiplicare nel passaggio da
una frequenza a quella della nota successiva. Chiamando X tale valore, F la frequenza da cui si
parte. La nota successiva ha frequenza F*X, quella dopo ancora (F*X)*X=F*X^2, e così via fino alla
dodicesima, con frequenza F*X^12. Ma questa nota è la stessa iniziale un’ottava sopra, ovvero il
doppio della frequenza di base, come spiegato sopra. L’equazione risultante è allora F*X^12 = 2*F,
equivalente a X^12 = 2, che si risolve per X uguale alla radice dodicesima di 2 (circa 1.0595). Si
e’ quindi ricavata una costante attraverso la quale e’ possibile determinare qualsiasi frequenza
dell’onda di qualsiasi nota (per esempio sapendo che la -> 440 Hz allora Sib -> 440 * 1.0595 =
466,18).

– Oltre la Musica: Musica Cosmica, Armonia Celeste –

I Pitagorici usavano la musica per curare il corpo e per elevare l’anima; inoltre essi credevano che
la musica terrena non fosse nient’altro che un flebile eco dell’universale “armonia delle sfere”.
Nell’antica cosmologia, le sfere planetarie si elevavano dalla Terra al Cielo come una scala a
pioli. Si diceva che ogni sfera corrispondesse ad una nota differente di una grandiosa scala
musicale. I particolari toni emessi dai pianeti dipendevano dalle proporzioni delle loro rispettive
orbite, proprio come il tono di una corda della lira dalla sua lunghezza. Un altro genere di scala
celeste collegava i toni dei pianeti alle loro apparenti velocità di rotazione attorno alla Terra.

Platone, Plinio, Cicerone e Tolomeo sono fra i filosofi del mondo antico che considerarono la musica
delle sfere. La dottrina venne trasmessa all’Europa del MedioEvo, dove essa trovò la sua espressione
più gloriosa nell’architettura delle maestose abbazie e cattedrali, deliberatamente disegnate per
adattarsi alle proporzioni dell’armonia musicale e geometrica.
L’ermetico inglese Robert Fludd (1574-1637 ) immaginò grandi scale celesti che misuravano 3 ottave e
livelli di esistenza collegati fra i mondi primitivi sub-planetari ai cori esultanti di intelligenze
angeliche oltre le stelle.

Nel 1619 Keplero, nel suo libro “Armonia del mondo”, descrisse le leggi musicali che regolano il
moto dei pianeti, e il risultato fu veramente sorprendente, un’incredibile fusione e sintesi di
geometria, astrologia, astronomia e armonia musicale: egli dimostro’ infatti che i rapporti
geometrici su cui è costruito l’universo sono come un’armonia musicale. Le armonie che noi sentiamo
con la musica ne sono un eco. Vi sono rapporti di note armoniche (1/2 ottava , 2/3 quinta , 3/4
quarta , 3/5 sesta, …) concordi, mentre altri sono discordi (3/7, 1/7). La ragione, secondo
Keplero è che i rapporti armonici vengono solo da poligoni regolari costruibili con solo compasso e
riga (es. pentagono sì, ettagono no). I cinque corpi regolari tridimensionali (lo spazio)
rappresentano la Trinità, i poligoni regolari (costruibili con compasso e riga) rappresentano il
mondo terrestre (il piano). Il cerchio, intersezione della sfera con il piano, siccome appartiene ai
due mondi (tridimensionale e bidimensionale) rappresenta l’uomo, corpo ed anima. Keplero trova
inoltre che il rapporto tra massimo e minimo della velocità angolare dei pianeti stanno come
rapporti armonici, per esempio Saturno 106/135 = 4/5 armonia di terza maggiore, per Giove, terza
minore, per Marte, quinta giusta, ecc…
Le misurazioni di Keplero hanno rivelato quindi corde ed armonie polifoniche in perenne cambiamento
come i pianeti si muovono tra il Perielio e l’ Afelio. In più egli ha avuto il merito di aver
spostato il centro di attenzione sulle armonie celesti dalla Terra al Sole: “D’ora in poi non sarà
più un’armonia creata a beneficio del nostro pianeta, ma la canzone che il cosmo suona al suo
signore e al suo centro, il Sole-logos”. Il noto astronomo Fred Hoyle concorda con il fatto che la
corrispondenza tra rapporti musicali e velocità dei pianeti come descritta da Keplero sia
“spaventosamente buona”. L’allievo di Keplero Francis Warrain ha avuto il merito di ampliare le
ricerche del proprio maestro e scoprire che la velocità angolare di Nettuno, Urano e Plutone, che
non erano stati ancora scoperti durante la vita di Keplero, corrispondevano anch’essi a delle
proporzioni armoniche.

La musica delle sfere è quindi molto di più di una stupenda intuizione poetica: le dinamiche del
sistema solare, enunciate per la prima volta dal genio matematico di Keplero, sono direttamente
analoghe alle leggi dell’ armonia musicale.

– … E finalmente Bach ed i suoi Canoni –

Non poteva mancare il sublime Johann Sebastian Bach (1685 – ?) ingegnere, geometra, matematico nelle
sue composizioni, fedele al principio di Pitagora che la matematica e la musica sono materie
strettamente imparentate.

Come gia’ ampiamente sottolineato, i principi matematici dell’armonia musicale sono direttamente
correlati alla geometria – che Goethe descrisse come “musica congelata”: opere Bachiane quali le
Variazioni Goldberg, l’Offerta musicale e l’Arte della fuga utilizzano in maniera sistematica
trasformazioni geometriche che invertono, ribaltano e dilatano temi musicali. Le stesse
trasformazioni, basilari per tutta la polifonia, sono poi state formulate esplicitamente agli inizi
del secolo come regole della dodecafonia. Allora, attraverso il linguaggio della geometria (e
soprattutto le isometrie del piano in se’ che permettono di trasformare il grafico di una funzione)
e’ possibile descrivere e apprezzare le cosiddette simmetrie musicali. Vediamo come: la funzione si
ottiene dalla melodia se si considera il tempo come variabile indipendente e l’altezza della nota
come variabile dipendente. Dato un tema si possono costruire le varie voci traslandole sull’asse dei
tempi, così da farle sovrapporre al tema con un certo ritardo (un esempio classico è il canone di
“Fra’ Martino”). Una traslazione sull’asse verticale cambia le note del tema dato e quindi la
tonalità. Invertendo il segno alla variabile dipendente o a quella indipendente, si esegue una
riflessione. E infine, uno stiramento è una variazione di unità di misura sull’asse orizzontale e
sull’asse verticale.

Sono solo queste le semplici regole geometriche che permettono di rappresentare graficamente la
struttura dei canoni, cioè di quelle composizioni che, più genericamente identificate come
contrappunti, si costruiscono combinando tra loro melodie più o meno autonome. Nell’ “Offerta
musicale” di Bach, in cui oltre a una fuga a tre voci, una a sei e un trio, sono presenti dieci
canoni derivati da un unico tema assegnato al musicista dal re di Prussia Federico il Grande nel
1747. Si consiglia la visione del sito [19] per un approfondimento dei canoni di Bach, attraverso
una visione multimediale della sua geniale musica.

Dall’osservazione che certe figurazioni grafiche si ripetevano in tutte le opere di Bach, e che il
grande artista sembrava preferire certi numeri rispetto agli altri ha fatto sorgere l’idea che ci
fosse un significato metaforico e cabalistico nelle sue opere.

Egli visse in un’epoca di forte razionalità, accanto a grandi fisici e matematici come Newton e
Leibniz. Nacque alla fine di un secolo, il XVII, del tutto sconvolto dalle affermazioni di Galileo
sull’universo, che avevano dato un fervore nuovo al pensiero scientifico. Ma era anche un’epoca in
cui la fede e la tradizione religiosa intessevano fittamente la vita quotidiana. La devozione di
Bach verso la scienza si fuse così con quella verso la Chiesa. E si riversò nelle sue opere
attraverso l’uso di un simbolismo numerico occulto, nascosto tra le righe del pentagramma. Per fare
qualche esempio: il numero 1 era il simbolo della perfezione, il numero 2 rappresentava il dualismo
della Creazione (terra e cielo, luce e buio, materia e pensiero), il 3 era il simbolo della trinità
(la Trinità divina, ma anche passato, presente e futuro), mentre il 9 era il simbolo della
rinascita, dell’espansione dei sensi.

Contando le battute che formano i motivi melodici soggetti a variazioni (temi), ci si accorge che
sono sempre tre o potenze di tre: nelle Variazioni Goldberg, dopo un’Aria tra le più belle scritte
da Bach si susseguono 30 variazioni tutte sul medesimo basso. Di queste, le numero 3, 6, 9, 12, 15,
18, 21, 24, 27, 30 sono canoni. Il numero 3 ricorre dunque con molta insistenza, questo proprio
perche’ i riferimenti numerici avevano una importanza fondamentale a quei tempi in quanto simboli
dell’unità tra l’uomo e il Creatore, tra il microcosmo umano e la tendenza verso l’infinito.
L’abilità che il grande artista dimostrava nei confronti dei giochi numerici gli servì anche per
mettere la sua firma sulla musica che componeva. Ma non solo in fondo al foglio. Per esempio, il
tema “Si-b, La, Do, Si” ricorre in tutta la terza parte del Klavieruebung. Ma secondo la notazione
inglese, che identifica ogni nota con una lettera, lo stesso tema si scrive “B, A, C, H”. Ancora: le
celebri Variazioni Goldberg celano un sofisticato simbolismo. Nell’aria iniziale vi sono tre
variazioni minori, ventotto maggiori e una in chiusura. Dunque: 3, 2, 8, 1. Ma ricorrendo alla
gemmatria, che identifica le lettere con la loro posizione nell’alfabeto, si ritrova C, B, H, A. Non
solo: l’effetto grafico delle quattro lettere, nella scrittura di Bach, è quello di un quadrato, la
forma perfetta. E non è finita. Il numero 14, cioè 3+2+8+1, si presenta con insistenza: nella Fuga
in mi minore, il tema ricorre 14 volte e 14 sono le note della prima riga del corale per organo Con
ciò mi presento davanti al tuo trono, mentre l’intera melodia ne conta 41. Che non solo è il
rovescio di 14, ma è anche la somma di 9+18+14: J, S, Bach.

Recentemente, il premio Pulitzer 1980 per la saggistica è stato assegnato a “Goedel, Escher, e
Bach”, best-seller di Douglas R. Hofstadter, che approfondisce appunto i rapporti i numeri del
matematico Kurt Goedel, i disegni di Maurits Cornelis Escher e le note di Johann Sebastian Bach.
L’approccio logico-matematico che Hofstadter propone, supportato da rigorose analisi computerizzate,
non solo conferma che nella musica di Bach sono contenuti tutti gli aspetti di un’analisi
rigorosissima a livello strutturale ma anche la presenza di un’applicazione dei principi
logico-matematici di sviluppo la cui rigorosita’ ed esattezza potrebbero fare invidia alle piu’
recenti applicazioni dell’informatica e dell’intelligenza artificiale. Bach ha infatti utilizzato,
per la costruzione delle sue opere elementi, regole, teorie e teoremi che verranno sviluppati ed
enunciati solo duecento anni dopo di lui!

– Dove Stiamo Andando, i Nuovi Aspetti –

Il pitagorismo rimane ben vivo anche nella fisica moderna, e non solo come generica matematizzazione
della natura. Anzitutto, se la fisica classica aveva riformulato il motto pitagorico come: “tutto è
(numero) reale” o “tutto è (numero) immaginario”, la fisica atomica sembra essere ritornata alla
versione originale, in cui sono proprio i numeri interi a determinare le caratteristiche della
natura a livello microscopico, attraverso la discretizzazione di quantità che si supponevano
continue, prima fra tutte l’energia. Inoltre, nel tentativo più recente di arrivare ad una teoria
unitaria della natura, la cosiddetta teoria delle stringhe di Witten, le costituenti ultime della
materia vengono non più pensate come punti (im)materiali, ma come pezzi di corda che vibrano in uno
spazio pluridimensionale, ed i cui modi di vibrazione (o suoni) costituiscono le particelle
elementari.
Il fisico e matematico americano Brian Greene sostiene che forse l’eleganza più attraente che ci sia
è quella matematica, quella che amava Platone: perché in essa sta la semplicità che permette di
ricondurre fenomeni apparentemente molto diversi fra loro a un solo principio. Dentro alla materia,
dopo gli atomi e dopo i quark, al di sotto di tutte le particelle ci sono – ci dice Greene in questo
viaggio che dal microcosmo del mondo subatomico ci porta fino al macrocosmo delle galassie e
dell’intero universo – soltanto stringhe, ovvero minuscoli anelli uni-dimensionali di energia che
vibra. Come dire, all’inizio di tutto c’è la musica. E infatti per Greene tutto quel che c’è è
paragonabile alle note che può produrre la vibrazione delle corde di uno strumento come un violino;
come facendole vibrare in un certo modo otteniamo un do e in un altro un sol, così a un certo schema
di vibrazione delle stringhe corrisponde un elettrone, a un altro un protone e così via, fino a
ricostruire l’infinita ricchezza dell’universo. L’universo, dunque, ancora una volta eccolo come
come una immensa sinfonia.

Inoltre, ultimamente, grazie all’aiuto delle tecnologie informatiche, scienza e musica hanno
ritrovato una strada da percorrere insieme: se i filosofi antichi immaginavano il suono di stelle e
pianeti, gli artisti – scienziati di oggi stanno realizzando e studiando armonie che provengono da
mondi piccolissimi, a volte nascosti dentro di noi. Sostanze organiche come il DNA, le proteine e
gli ormoni sono composte da elementi che somigliano straordinariamente, da un punto di vista
strutturale, ai ritmi musicali. Grazie alla collaborazione del botanico K.W. Bridges e del biologo
M.A. Clark, e’ stato sviluppato un programma, il BIO 2 Midi www.algoart.com/ , in grado di
tradurre la struttura degli aminoacidi in sequenze musicali (da sottolineare il fatto che, nelle
opere del discusso Bach, in seguito ad un’attenta analisi, appare che per la costruzione di alcune
sue opere, il grande musicista si sia avvalso dei principi di autoreferenza e autoreplicazione,
propri della struttura del DNA!). Attraverso queste composizioni musicali, che sembrano invitare al
sogno e alla contemplazione, è stato possibile aggiungere qualche osservazione che potrebbe
risultare feconda anche da un punto di vista scientifico. Infatti, sono state individuate affinità
tra molecole proteiche che appartengono a organismi animali molto lontani da un punto di vista
evolutivo. Il valore estetico di queste armonie non è dunque disgiunto da potenzialità conoscitive.

Ancora nel campo informatico sono molti interessanti i nuovi algoritmi in grado di generare musica,
attraverso numeri, funzioni matematiche, immagini [20], [21], [22]; per non parlare poi dei
parallelismi tra caos, frattali e musica, [23] . Infine, per concludere in maniera un po’
misteriosa, e’ caldamente suggerita, soprattutto agli amanti dei cosiddetti fenomeni extraterrestri,
la visione di un sito [17] nel quale si ipotizza addirittura un legame tra crop circles – teoremi
geometrici ovviamente in relazione alle leggi armoniche della musica! Sembra quindi non esserci (per
fortuna) mai fine…

– Pagine Web Consigliate (risultati di una ricerca ragionata) –

1- Pillole di Teoria Musicale (sintetico corso di musica)
beatles.cselt.it/~mau/musica/musica.html

2- Temperamenti: contraddizioni e compromessi di un sistema
www.anyware.it/allegroespressivo/musicaclassica/mcla1b.html

3- Il senso fisico
www.euresis.org/documenti/senso_fisico.htm

4- Storia della Matematica e della Musica
www.provincia.venezia.it/lartis/log/musica/musica.htm

5- Giovanni Keplero e la Musica delle sfere
www.armonics.net/articoli/keplero.html

6- J.S.Bach
web.tiscalinet.it/valdesiamessina/Bach.html

7- La Matematica e il Sublime: Bach
www.unitn.it/unitn/numero23/bach.html

8- La Matematica del pentagramma
www.galileonet.it/archivio/mag/000708/3_art.html

9- Simmetrie Sinfoniche
www.galileonet.it/archivio/mag/971115/3_frame.html

10- Leibniz e la Musica
lgxserver.uniba.it/lei/filmusica/fmclmod1.htm

11- Guido D’Arezzo
www.provincia.venezia.it/lartis/log/musica/guido.htm

12- MateMusica
www.ibnet.it/phoenix/matemusica-st.htm

13- Un bach insolito…
space.tin.it/musica/fborsari/arretra/fondo/fondo33.html

14- Matematica e Musicatra tra frattali e note musicali
riemann.unica.it/attivita/colloquium/cadeddu/musicamatematica/

15- La Musica della Vita
www.nautilus.ashmm.com/9809it/cultura/dna.htm

16- Festival dell’Aurora – Crotone
www.krol.it/turismo/aurora97/pres-ita.htm

17- Crop Circles Musica Vivente
www.extraterrestre.it/musicavivente.htm

18- Math-Music discussion
www.math.niu.edu/~rusin/uses-math/music/

19- Bach Multimedia
jan.ucc.nau.edu/~tas3/bachindex.html

20- Musinum – the Music in the Numbers
bfws7e.informatik.uni-erlangen.de/~kinderma/musinum/musinum.html

21- Musical Generator
www.musoft-builders.com/links/amg.shtml

22- The Music of PI
musicofpi.com./

23- Fractals and Music
www.discovery.com/stories/technology/fractals/fractals.html

– Bibliografia –

Douglas R. Hofstadter, Godel, Escher, Bach un’Eterna Ghirlanda Brillante, ED. Adelphi, 1984 Milano;

Alexander Roob, Il Museo Ermetico – Alchimia Mistica, ED. Taschen, 1997 Milano;

A. Castelli, P. Colombo, Il Dizionario dei Misteri – La Musica Mysteriosa, allegato allo speciale
Martin Mystere n°13, Bonelli Editore, Maggio 1996, Milano.

da www2.dm.unito.it/paginepersonali/garetto/sis/2001/Elab_SIS/Genesio/Lamusica.htm